Задания школьной математической олимпиады – 9 класс

 

1. 36 т. груза упаковали в контейнеры вместимостью не более 1 т. Доказать, что четырехтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.
2. Тридцать команд учавствуют в первенстве по футболу. Каждые две команды должны сыграть между собой один матч. Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
3. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны квадратам корней уравнения х² + 55х – 45 = 0.
4. Доказать, что площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, не превосходит половины площади этого треугольника.
5. Найти трехзначное число, удвоив которое, мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от единицы до искомого трехзначного числа включительно.

 

 

Задания школьной математической олимпиады – 10 класс

 

                                                                       2а            b

1. Числа а и b удовлетворяют равенству             +           = 2.  Найти все возможные

                                                                      a + b        a - b                  

                                          3a - b      

значения выражения                        .   (2 б)

                                            a + 5b                 

2. На координатной плоскости дан параллелограмм, вершины которого находятся в точках с целыми координатами. Доказать, что его площадь выражается целым числом.         (4 б)

                                                                                                1

3. Построить график функции у=f(f(f(x))) , если f(x)=             . (3 б)

                                                                                              1 – х

 

                                            (х – 3)(х⁴ – 6х² – 16)           

4.Решить неравенство:                                             ≤ 0 .   (3 б)

                                                     х²

 

5.При каких значениях параметра а уравнение  х⁴ – (3а – 1)х² + 2а² – а = 0 имеет ровно два различных корня.  (4б)

 

 

Задания школьной математической олимпиады – 11 класс

 

1.Найдите два двузначных числа, если известно, что сумма всех остальных двузначных чисел в 50 раз больше одного из этих чисел.    (7б)

 

2.Около окружности описан четырехугольник ABCD, у которого AD êêСВ. Докажите, что АВ + СD ³ 2√S, где S – площадь четырехугольника.   (4б)

 

3.Докажите, что если диагонали параллелепипеда равны, то этот параллелепипед прямоугольный.       (5 б)

 

4.Найти все значения а, при которых смешанная система имеет единственное решение.

ì х² + у² + 2х £ 1,

í                                             (6 б)

î  х – у + а = 0.

 

5.Докажите, что если квадрат натурального числа содержит нечетное число десятков, то цифра единиц квадрата равна 6.            (10 б)