Задания школьной математической олимпиады – 9 класс
Задания школьной математической олимпиады – 10 класс
2а b
1. Числа а и b удовлетворяют равенству + = 2. Найти все возможные
a + b a - b
3a - b
значения выражения . (2 б)
a + 5b
2. На координатной плоскости дан параллелограмм, вершины которого находятся в точках с целыми координатами. Доказать, что его площадь выражается целым числом. (4 б)
1
3. Построить график функции у=f(f(f(x))) , если f(x)= . (3 б)
1 – х
(х – 3)(х4 – 6х2 – 16)
4.Решить неравенство: ≤ 0 . (3 б)
х2
5.При каких значениях параметра а уравнение х4 – (3а – 1)х2 + 2а2
– а = 0 имеет ровно два различных корня.
(4б)
Задания школьной математической олимпиады – 11 класс
1.Найдите два двузначных числа, если известно, что сумма всех остальных двузначных чисел в 50 раз больше одного из этих чисел. (7б)
2.Около окружности описан четырехугольник ABCD, у которого AD êêСВ. Докажите, что АВ + СD ³ 2√S, где S – площадь четырехугольника. (4б)
3.Докажите, что если диагонали параллелепипеда равны, то этот параллелепипед прямоугольный. (5 б)
4.Найти все значения а, при которых смешанная система имеет единственное решение.
ì х2 + у2 + 2х £ 1,
í (6 б)
î х – у + а = 0.
5.Докажите, что если квадрат натурального числа содержит нечетное число десятков, то цифра единиц квадрата равна 6. (10 б)